Vincent GODARD

Département de Géographie

Université de Paris 8

V.1.4 - Dernière mise à jour : 21/11/2008

Fiche Mémo n°3.1. du cours d'enquête :

Le sondage aléatoire

Comment passer d'une information significative au niveau d'un échantillon à une information pertinente sur l'ensemble de la population étudiée ?

1. Pourquoi sonder ?

Lorsque l'on étudie un caractère quelconque :

- pourcentage de boisements sur une photo ou une carte ;

- surface enherbée sur un territoire communale ...

sur une population d'effectif* M

 

1.1. Si le caractère Y est quantitatif

On peut le résumer par :

- sa moyenne*

formule n°1 - fm31

- sa variance*

formule n°2 - fm31

- ou son écart-type* dans l'univers* "u"

formule n°3 - fm31

Univers et population sont synonymes

1.2. Si le caractère Y est une variable indicatrice

Un caractère qualitatif codé en présence ou absence

Il a pour moyenne une proportion :

formule n°4 - fm31

et pour variance :

formule n°5 - fm31

toujours calculés sur la population

Cependant, lorsque la population est importante

- on n'a matériellement pas le temps d'interroger toutes les unités statistiques

- on va procéder par échantillonnage

Or si l'on n'est pas exhaustif*,

ces paramètres ne seront jamais connus exactement !

Existe-t-il une solution ?

2. Un théorème bien pratique

- Si l'on tire un échantillon équiprobable avec remise d'effectif m parmi la population M

Traduction :

- équiprobable : chaque individu a une chance identique d'en faire partie

- avec remise : une fois tiré et le caractère "y" observé, on le remet (il peut donc être, en théorie, tiré une seconde fois)

On est dans le cas des sondages aléatoires simples*

Synonyme : sondages élémentaires*

- On peut calculer sur cet échantillon :

- sa moyenne qui est un estimateur sans biais de la moyenne (inconnue) sur la population

- son écart-type "s"

- Cette moyenne dépend de l'échantillon tiré

- Si on recommence plusieurs fois le tirage

on aura différentes valeurs de

C'est une variable aléatoire*

- Quand :

- m est assez grand (en pratique > 30)

et que

- n (le nombre d'échantillons) tend vers l'infini

La distribution de toutes les valeurs des moyennes fournies par tous les échantillons que le hasard désigne, à la forme d'une courbe en cloche (cf. fig. 1).

fig. 1 - Distribution des moyennes d'échantillon

Source BRION 1982, p.11

- La moyenne des échantillons suit une loi normale* quelle que soit la distribution de la variable sur l'univers :

- centrée sur (la moyenne sur l'univers) , appelée Espérance mathématique* et notée E() ;

- de variance

formule n°6 - fm31

ou

- d'écart-type

formule n°7 - fm31

appelé erreur-type*

C'est le théorème central limite*

 

3. Propriétés de la loi normale

3.1. Intervalle de confiance

- On peut estimer (le caractère inconnu mais recherché, ici la moyenne sur l'univers)

- à l'intérieur d'une fourchette d'estimation appelée intervalle de confiance*

- moyennant une prise de risque liée à l'échantillonnage

- Cette estimation se présente comme suit :

D'après l'échantillon, on estime que appartient à l'intervalle de confiance

formule n°8 - fm31

avec un certain risque d'erreur

où :

t, le t de Student représente un coefficient fonction :

- du risque d'erreur admis ;

- du nombre de degrés de liberté* (cf. Annexe n°1 ).

3.2. Comment déterminer le coefficient "t"

- On estime qu'il existe :

- 9 chances sur 10 pour que soit compris dans l'intervalle

formule n°9 - fm31

- 95 chances sur 100 pour que soit compris dans l'intervalle

formule n°10 - fm31

D'où viennent les coefficients 1,645 et 1,96 ?

- Ils sont lus dans la table de "t"

Où :

- le nombre de degrés de liberté (d.d.l.) renseigne sur le nombre de valeurs libres

[le nombre d'informations libres, non fixées (cf. Annexe n°1 )]

- la probabilité est le risque d'erreur que l'on se fixe pour déterminer la taille de l'intervalle de confiance

Par exemple, si :

formule n°11 - fm31

alors, on admet que dans 5 échantillons sur 100 que l'on pourrait constituer,

n'est pas compris dans l'intervalle

formule n°10 - fm31

mais est compris dans cet intervalle dans les 95 autres pour 100 des cas !

- Cependant, est inconnu, mais

- formule n°6 - fm31

donc

- formule n°7 - fm31

et

- est estimé sans biais par s²

formule n°12 - fm31

variance de l'estimateur calculée sur l'échantillon

- Exemple (toute ressemblance ...) :

1) Estimation d'un trajet dans un parc d'après le dessin des enquêtés

- Quelle est la distance moyenne parcourue par les promeneurs qui ont fréquenté le parc de La Courneuve entre le 27 octobre et le vendredi 9 novembre 2007 ?

On en a enquêté 75 pendant cette période sur un total théorique de 76 000 (source enquête SERDA 2006 p.3, Téléchargement du document)

Calculer l'intervalle de confiance à l'aide de l'échantillon (Téléchargement du fichier Excel) qui va permettre d'estimer la distance moyenne parcourue par l'ensemble des promeneurs du parc sur cette période

2) Estimation téorique

- Quelle est la distance moyenne parcourue par les habitants de la ville de Trifouillis (20 000 hab.) pendant le week-end de la Toussaint pour acheter des chrysanthèmes et se rendre au cimetière ?

On en sonde 900 d'entre eux :

- la distance moyenne est de 120 km ;

- la variabilité, connue par l'écart type (s) est de 5 km.

On n'a donc pas besoin de calculer :

formule n°12 - fm31

Au risque de se tromper dans seulement 5 % des cas ( = 0,05) et pour un tirage avec remise :

- 2 * < < + 2 *

120 - 2 * < < 120 + 2 *

120 - 2 * (5 / 30) < < 120 + 2 * (5 / 30)

120 - 2 * 0,1667 < < 120 + 2 * 0,1667

119,6666 < < 120,3334

- La distance moyenne parcourue par les Trifouillois est comprise entre 119,67 km et 120,33 km au risque de 5 %.

ou encore

- La distance moyenne parcourue par les Trifouillois est de 120 km ± 0,33 km au risque de 5 %.

- Remarque :

La précision de l'estimation ne dépend pas :

- du taux de sondage "f"

formule n°13 - fm31

- ni de M, la taille de l'univers

mais de la racine carré de "m" la taille de l'échantillon,

formule n°7 - fm31

Donc il faut raisonner en nombre d'unités enquêtées et pas en taux de sondage

3.3. Précision relative

Le coefficient de variation* "CV" donne une idée de la précision relative* de l'estimation de

formule n°14 - fm31

C'est un indicateur de la concentration* de la distribution autour de

- Exemple (suite) :

- Quelle est la variabilité de l'estimation de la distance moyenne parcourue par les habitants de la ville de Trifouillis ?

Toujours avec un tirage avec remise au risque de 5 %, on prend :

formule n°14 - fm31

- Soit

CV = (0,1667 / 120) = 0,00139

- La variabilité de cette estimation est de 0,14 % au risque de 5 %.

 

En résumé :

- l'estimateur est centré sur la valeur recherchée ;

- sa distribution est d'autant plus concentrée autour de que:

- la taille de l'échantillon m est grande ;

- la variable est peu dispersée dans l'univers.

- le sondage aléatoire permet d'estimer la précision de l'estimation (erreur aléatoire)

4. Test de compréhension

NB : les mots suivis de "*" font partie du vocabulaire statistique, donc leur définition doit être connue. Faites-vous un glossaire.