tab. 5 - Rappels : calculs avec les puissances
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V.1.1 - Dernière mise à jour : 21/05/2004
Ces rappels sont partiellement inspirés de BEGUIN, 1994, pp. 158-159 et de CHADULE, 1997, pp. 184-185.
- La progression arithmétique : suite de termes déduits du précédent en lui ajoutant une constante, la raison*.
Les nombres entiers sont une progression arithmétique de raison un.
- La progression géométrique : suite de termes déduits du précédent en le multipliant par une constante positive, la raison*.
L'accroissement d'une population est une progression géométrique de raison
- > 1 si elle augmente.
- < 1 si elle diminue.
tab. 5 - Rappels : calculs avec les puissances
Avec x, la variable (une fonction), et a et b, des paramètres (constantes).
- Lorsque l'on a des relations (fonctions) non linéaires, où les nuages de points dessinent des "J" ou des "J" inversés (fonctions exponentielles ou puissances, positives ou négatives), il est souvent préférable de les linéariser pour les étudier.
C'est le cas de :
- l'évolution d'une grandeur en fonction du temps (ex. des séries chronologiques comme la consommation des produits pétroliers en France entre 1929 et 1971, CHADULE, 1987, pp.113-114.) ;
- la variation d'une grandeur (comme la densité) en fonction d'une distance (au centre ville par exemple, cf. Diminution de la densité des commerces par commune en fonction de la distance au centre de Paris, in. PUMAIN, 1997, p.86) ;
- l'interaction entre deux lieux qui est fonction de la masse des lieux (quantité de population par exemple) et leur distance (cf. Intensité des appels téléphoniques et distance à Lannion, in. PUMAIN, 2001, p.21), ...
L'échelle logarithmique est une échelle fonctionnelle. L'échelle arithmétique en est une autre.
- Le logarithme d'un nombre "c" est la puissance "a" à laquelle il faut élever une constante "b", appelée base*, pour obtenir ce nombre.
a est le logarithme de base b de c ;
c est l'antilogarithme de base b de a.
Deux bases sont couramment employées :
- la base 10 => logarithmes décimaux, notés log10
- la base e = 2,7182 => logarithmes népériens, notés LN ou Loge
- Ils servent à établir une correspondance (application en mathématique) entre l'ensemble des puissances entières successives de 10 :
... ; 10-3 ; 10-2 ; 10-1 ; 100 ; 101 ; 102 ; 103 ; ... (progression géométrique illimitée de raison 10)
et la suite des nombres entiers :
... ; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... (progression arithmétique illimitée de raison 1)
d'où
log 0,1 = log 10-1 = - 1
log 1 = log 100 = 0
log 10 = log 101 = 1
log 100 = log 102 = 2, etc.
- Le logarithme décimal d'un nombre est donc la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir ce nombre.
Le logarithme décimal de 421, par exemple, est un nombre compris entre 102 et 103, soit 2 pour sa partie entière.
La partie décimale, la mantisse, se trouvait "dans le temps" dans une table.
Maintenant, le résultat globale (2,624...) s'obtient avec une calculette ou à l'aide de la fonction d'EXCEL :
=LOG10(421) qui donne 2,624...
C'est la fonction réciproque de la fonction puissance de 10, notée 10x, sur votre calculette.
- Ils servent à établir une correspondance (application en mathématique) entre les puissances entières successives de e=2,7182.... :
... ; 2,7182-3 ; 2,7182-2 ; 2,7182-1 ; 2,71820 ; 2,71821 ; 2,71822 ; 2,71823 ; ... (progression géométrique illimitée de raison e=2,7182....)
et la suite des nombres entiers :
... ; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... (progression arithmétique illimitée de raison 1)
- Le logarithme népérien d'un nombre est donc la puissance à laquelle il faut élever 2,7182 pour obtenir ce nombre.
Le logarithme népérien de 421, par exemple, est un nombre compris entre 2,71822 et 2,71823, soit 6 pour sa partie entière.
La partie décimale, la mantisse, se trouvait également "dans le temps" dans une table.
Maintenant, le résultat globale (6,04...) s'obtient avec une calculette ou à l'aide de la fonction d'EXCEL :
=LN(421) qui donne 6,04...
C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle, notée ex, sur votre calculette.
Remarque :
- Dans EXCEL, il est possible de calculer le logarithme dans n'importe quelle base avec la fonction
=LOG(nombre;base)
- On passe d'un logarithme à l'autre avec les relations suivantes :
Si par définition on a :
En appliquant les règles du calcul des puissances, on transforme :
- un produit en addition :
- un quotient en soustraction :
- une puissance en produit :
- une racine en quotient :
L'échelle logarithmique est utilisée pour représenter graphiquement une variable qui possède des valeurs très étendues et contrastées, comme :
- les revenus par habitant dans le monde ;
- le pH des sols, ...
- La fonction exponentielle y = ax devient une droite sur un graphique semi-logarithmique d'équation :
log y = x * log a
- La fonction puissance y = k * xa devient une droite sur un graphique logarithmique d'équation :
log y = log k + a * log x
