V.1.3 - Dernière mise à jour : 03/01/2005
Les valeurs centrales ou tendances centrales (mode, moyenne, médiane, ...)
permettent de résumer la série brute
La médiane*:
- est un fractile particulier
c'est donc paramètre de position
- permet de diviser la distribution en deux sous ensembles égaux
Q2 est la médiane, elle est parfois notée
50 % des valeurs lui sont inférieures
50 % des valeurs lui sont supérieures
- peut être trouvée :
- graphiquement
Figure 1 : Recherche de la médiane à l'intersection des courbes de fréquences cumulées
(Sources : Météo France, in SAINT-JULIEN 1999, p.17).
- par le calcul (cf. infra)
Contexte :
caractères quantitatifs et, dans certains cas, qualitatifs ordonnables
Objectif :
partitionner la distribution en 2 classes d'effectifs égaux pour :
- trouver un centre de la distribution
- comparer le comportement des 50% des plus petits et celui des 50% des plus gros
Réalisation :
- Classer les individus du plus petit au plus grand
(pose un problème pour classer les ex-aequo !)
- Diviser la distribution en deux
- lorsque N est impair
formule n°1 (mem24sta.htm)
où
Qi est la médiane ;
X est la valeur de la médiane ;
i est le numéro de la médiane ;
N est l'effectif total ;
ni est l'effectif de la modalité i pour la médiane ;
f(ni) est la fréquence de cette modalité ;
est la fraction (ou fréquence relative cumulée) de la médiane :
- lorsque N est pair
formule n°2 (mem24sta.htm)
Exemple :
Si l'on prend les températures de Paris, quelle est la température médiane ?
Sources : Météo France
Mois Moy T° à Paris janv 3,0 fév 3,6 mars 6,6 avril 9,6 mai 13,0 juin 16,0 juil 17,9 août 17,7 sept 15,3 oct 11,2 nov 6,4 déc 3,7
- Ordonner les températures
- Puis effectuer le calcul
Q2 = 10,4 °C
A Paris :
50% des t° moyennes mensuelles sont inférieures à 10,4 °C
50% des t° moyennes mensuelles sont supérieures à 10,4 °C
Lorsque l'on n'a pas accès au tableau élémentaire
Cas fréquent des statistiques déjà publiées en tableau de dénombrement
et si l'on ne procède pas par interpolation, on peut utiliser la formule suivante (cf. DAGNELIE 1984, vol.1, p.44) :
formule n°3 (mem24sta.htm)
où
Qi est la médiane ;
Xi inf est la valeur de la borne inférieure qui contient la médiane ;
i est le numéro de la médiane ;
est l'étendue* de la modalité qui contient la médiane ;
est la fréquence cumulée de la médiane, exemple :
- dans le cas des fréquences cumulées relatives
- dans le cas des fréquences cumulées absolues
f(ni) est la fréquence de cette modalité ;
ni est l'effectif de la modalité i pour le quantile recherché ;
est la fréquence cumulée de la classe directement inférieure à celle du quantile recherché.
- Certains auteurs préconisent l'utilisation des fréquences absolues, dans la formule,
le résultat serait moins approximatifs qu'avec les fréquences relatives
Exemple :
SAU en ha Nb de fermes [0 ; 10[ 4 [10 ; 20[ 10 [20 ; 30[ 14 [30 ; 40[ 12 [40 ; 50[ 10 - Quelle est la valeur du 2e quartile ?
Q2 = 28,2 ha
C'est une ferme "théorique", la 25,5e ferme.
Reprendre l'exemple du Tableau 1 (mem24sta.htm) - Distribution des résidences secondaires dans les villes de plus de 250 000 habitants en France en 1990 - (Sources : RGP, 1990, in SAINT-JULIEN 1999, p.21).
Ce fichier est au format EXCEL 5.0 et "pèse" 97 Ko.
- Prendre le caractère "Nombre de résidences secondaires pour 1 000 habitants en 1990"
- Quelle est la valeur de l'agglomération médiane trouvée par EXCEL ?
Utiliser la fonction médiane d'EXCEL sur le TIG (tableau élémentaire)
- Peut-on utiliser les fonctions d'EXCEL sur le tableau de dénombrement 2b ?
- Utiliser les formules vues en cours (cf. supra) et comparer les résultats
- Quelle valeur de médiane vaut-il mieux prendre ?
Reprendre l'exemple du Tableau 2 (mem24sta.htm) - Distribution des précipitations en Mauritanie entre 1940 et 1990 - (Sources : ASECNA, ORSTOM).
Ce fichier est au format EXCEL 5.0 et "pèse" 97 Ko.
- Calculer la valeur de la médiane pour les trois stations
- La reporter (manuellement) sur les diagrammes en boîtes et moustaches
Conclusion :
- La médiane tient compte du rang de tous les individus et non de leur valeur
- les valeurs exceptionnelles ne l'affectent pas
- elle est qualifiée d'estimateur robuste
- Valable sur caractères quantitatifs et qualitatifs ordinaux
- Malgré sa valeur descriptive, elle est moins utilisée que la moyenne
- Cependant possède une propriété mathématique qui lui est propre
La médiane est la valeur centrale la plus proche de tous les individus
formule n°1
Un exemple est développé dans le CHADULE (CHADULE74, p.50), il permet d'aborder les problèmes de localisation optimum.
Synonyme : valeur la plus fréquente
- Le mode :
- est la valeur dominante, celle dont la fréquence est la plus élevée.
- n'est significatif que s'il se détache franchement
Remarques :
- Il existe des distributions :
- avec un mode principal et un ou plusieurs modes secondaires
- amodales (sans mode)
- bi ou plurimodales
Dans le cas de distributions discrétisées (groupées) :
-, la classe modale* n'est peut-être fonction que du choix des limites de classes
- le mode est le centre de la classe modale
Reprendre l'exemple du Tableau 1 (mem24sta.htm) - Distribution des résidences secondaires dans les villes de plus de 250 000 habitants en France en 1990 - (Sources : RGP, 1990, in SAINT-JULIEN 1999, p.21).
Ce fichier est au format EXCEL 5.0 et "pèse" 97 Ko.
- Prendre le caractère "Nombre de résidences secondaires pour 1 000 habitants en 1990"
- Quelle est la valeur modale trouvée par EXCEL ?
- Est-ce la seule ?
- Faire un tableau de dénombrement avec un pas de 10
- Quelle est la valeur modale trouvée par EXCEL ?
- Est-ce la seule ?
Conclusion :
- Le mode a une valeur descriptive importante
- Pour les caractères qualitatifs nominaux c'est la seule valeur centrale
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Communiquez-moi par courrier électronique les réponses aux questions suivantes Question n°3.1.1. L'intersection des courbes de fréquences cumulées croissantes et décroissantes du Mont Aigoual (Fig. 1) marque la médiane, est-elle :
Question n°3.1.2. Quelle est la station mauritanienne qui a pour médiane 255,6 mm (Tab. 2, mem24sta.htm) ?
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NB : les mots suivis de "*" font partie du vocabulaire statistique, donc leur définition doit être connue. Faites-vous un glossaire.
