mem322car.htm

Vincent GODARD

Département de Géographie

Université de Paris 8

V.1.2 - Dernière mise à jour : 15/10/2022

Fiche Mémo n°3.2.2. du cours de Cartographie statistique (niveau 2) :

La discrétisation (2/2)

Pour représenter les données quantitatives repérées (échelles d'intervalles), les ratios et pourcentages (échelles de rapport) et les données qualitatives exprimant la chronologie, la hiérarchie, ... (échelles ordinales).

Variable visuelle utilisée : la Valeur

Objectif : faire varier la valeur d'un figuré pour traduire l'ordre (hiérarchie relative) entre les objets

1. Transformations de variables

- Faire une transformation c'est :

- utiliser 1 fonction de la variable au lieu de la variable elle-même

- faire un changement d'échelle

- on passe d'une échelle originelle à une autre ;

- on convertit l'intervalle entre les données.

- L'effet global est de modifier la forme de la distribution des fréquences

Ainsi une variable dissymétrique à gauche est :

- symétrisée ;

- normalisée (même).

par une transformation logarithmique

- La transformation logarithmique permet :

- d'augmenter l'intervalle entre les faibles valeurs ;

- d'atténuer leur concentration en les écartant de l'origine ;

et surtout,

- d'y appliquer les statistiques paramétriques.

Pour en savoir plus sur les logarithmes, cliquez ici !

fig. 8b - Effet des transformations

1.1. Types de transformations

- Quels sont les partis qui ont une asymétrie droite, gauche ?

fig. 9 - Le pourcentage des voix aux élections régionales de 1998 par commune (dép. 75 et 93)

Sources : Le Monde du 18 mars 1998 et Le Parisien du 16 mars 1998

Pour la construction du diagramme en boîtes et moustaches voir la fiche mémo fm24sta.htm du cours de statistique

1.1.1. Distributions dissymétriques à gauche

Un des cas les plus courant en géographie

fig. 10 - Le pourcentage des voix de la Droite aux élections régionales de 1998 par commune (dép. 75 et 93)

Sources : Le Monde du 18 mars 1998 et Le Parisien du 16 mars 1998

On normalise une variable de ce type par :

- une fonction puissance

où l'exposant est inférieur à 1 (racine carré, cubique , ...)

quand la dissymétrie gauche est faible (exposant 1/2 dans EXCEL)

- une fonction logarithmique

très usuelle

quand la dissymétrie gauche est plus forte (Log10 dans EXCEL)

- Prendre l'exemple du tableau 1

- prendre l'onglet Tab1c ;

- compléter les colonnes D et E ;

- compléter les tableaux de fréquences des colonnes G à J ;

- faire 1 histogramme par tableau de fréquences (sur les pourcentages non cumulés) ;

- Quelle est la transformation la plus efficace (celle qui rapproche le plus la distribution de la loi normale) ?

- Nécessité de calculer les coefficients d'asymétrie* et d'aplatissement*

Ils caractérisent tous les deux la forme de la distribution.

Ils se calculent à l'aide des moments centrés*.

- Un moment centré ( ; se lit mu) d'ordre r est :

la moyenne arithmétique des écarts à la moyenne arithmétique élevé à la puissance r :

formule n°1 (mem32car.htm)

- La variance, notée (; se lit sigma deux) et, déjà vue en statistique, est :

- un moment centré d'ordre 2 ;

- la moyenne arithmétique des carrés des écarts à la moyenne.

formule n°3 (mem41sta.htm)

- Le Coefficient d'asymétrie de Fisher, noté (; se lit gamma un), est le quotient suivant :

formule n°2 (mem32car.htm)

avec :

- le moment centré d'ordre 3 ;

- l'écart-type élevé au cube.

Donc, il peut être négatif !

- Quand :

Coef. d'asymétrie < 0 => asymétrie gauche

Coef. d'asymétrie = 0 => distribution normale

Coef. d'asymétrie > 0 => asymétrie droite

- Dans EXCEL, la formule est la suivante :

formule n°3 (mem32car.htm)

où :

m est l'effectif d'un échantillon ;

s est l'écart-type calculé sur un échantillon.

Elle s'appelle : COEFFICIENT.ASYMETRIE

Synonyme => Skewness

- Reprendre l'exemple du tableau 1

- prendre l'onglet Tab1c ;

- calculer les coefficients d'asymétrie (de C107 à E107) ;

- Quelle est la transformation la plus efficace (celle qui rapproche le plus la distribution de la loi normale) ?

- Quel est le signe du coefficient ?

L'asymétrie n'est pas tout,

il faut également évaluer l'aplatissement

- Le Coefficient d'aplatissement de Pearson, noté (; se lit bêta deux), est le quotient suivant :

formule n°4 (mem32car.htm)

avec :

- le moment centré d'ordre 4 ;

- le carré de la variance.

Donc, il est toujours positif !

- Quand :

Coef. d'aplatissement = 3

Il est le même que celui d'une courbe gaussienne.

- Reprendre l'exemple du tableau 1

- prendre l'onglet Tab1c ;

- calculer les coefficients d'aplatissement (de C108 à E108) ;

Mais, ce coefficient est absent d'EXCEL, il faut le calculer :

- calculer les écarts à la moyenne en colonnes L, M et N ;

- ils complètent le quotient qui donne le coef. d'aplatissement

- Quelle est la transformation la plus efficace (celle qui rapproche le plus la distribution de la loi normale) ?

Si vous n'arrivez pas à vous décider sur la transformation la plus efficace :

- calculer le rapport (de C109 à E109).

Il existe dans EXCEL une fonction équivalente qui s'appelle : KURTOSIS

- Allez la voir dans la rubrique d'aide d'EXCEL

- Quand :

Kurtosis < 0 => distribution aplatie

Kurtosis = 0 => distribution "normale"

Kurtosis > 0 => distribution pointue

- Reprendre l'exemple du tableau 1

- prendre l'onglet Tab1c (2) cette fois-ci ;

- calculer les coefficients (de C102 à F114) ;

- colorier selon le code couleur fourni.

- Quelle est la transformation la plus efficace (celle qui rapproche le plus la distribution de la loi normale) ?

Si vous n'arrivez pas à vous décider sur la transformation la plus efficace :

- calculer les écarts de la ligne 115.

En conclusion, la transformation n'est pas parfaite

mais il faut faire un choix !

1.1.2. Distributions dissymétriques à droite

Un exemple, malgré tout, moins courant en géographie que l'asymétrie gauche

fig. 11 - Le pourcentage des voix de la Gauche plurielle aux élections régionales de 1998 par commune (dép. 75 et 93)

Sources : Le Monde du 18 mars 1998 et Le Parisien du 16 mars 1998

On normalise une variable de ce type par :

- une fonction puissance

où l'exposant est supérieur à 1 (puissance deux, trois, ...)

quand la dissymétrie droite est faible (exposant 2 dans EXCEL)

- Reprendre l'exemple du tableau 1

- prendre l'onglet Tab1d ;

- refaire les calculs (comme au paragraphe 1.1.1.)

- A moins de déceler une répétitivité, peu de discrétisations sont satisfaisantes sur les distributions plurimodales (Cf. fig. 12)

fig. 12 - Le pourcentage des voix du Front national aux élections régionales de 1998 par commune (dép. 75 et 93)

Sources : Le Monde du 18 mars 1998 et Le Parisien du 16 mars 1998

- Le diagramme en boîtes et moustaches (fig. 9) permettait-il de voir la bimodalité de la distribution ?

1.2. Transformations et discrétisation

Plus par habitude que par nécessité (cf. CAUVIN 1987, p.53),

les discrétisations sur données transformées se font surtout par les méthodes des :

- classes d'égales étendues ;

- moyennes et écart-types

Mais toutes les autres sont valables.

2. Indices

Des aides à la décision

Objectif : sélectionner la discrétisation la plus fidèle aux données d'origine

Car discrétiser une distribution c'est commettre une erreur

On va limiter celle-ci par

comparaison des valeurs initiales et des valeurs représentées sur la carte

à l'aide d'indices

Deux indices sont proposés ici :

- Le TAI (Tabular Acuracy Index) de Jenks ;

- L'analyse des variances intra et inter-classes.

2.1 Le TAI

Compare l'écart, en valeur absolue, entre les individus et la moyenne de leur classe et ces mêmes individus et la moyenne générale , toujours en valeur absolue.

formule n°5 (mem32car.htm)

avec :

- h le nombre de classes variant de 1 à k ;

écart à la moyenne, en valeur absolue, dans la classe h ;

écart à la moyenne générale, en valeur absolue ;

où :

- moyenne de la classe h ;

- moyenne générale ;

- un individu de la classe h ;

- M effectif de la série ;

- M_h effectif de la classe h.

Le TAI varie entre 0 et 1

- Quand :

- le TAI ± 1 => la somme des écarts intra-classes est plus faible que la somme des écarts à la moyenne générale

la discrétisation crée des classes homogènes

- le TAI ± 0 => la somme des écarts intra-classes est peu différente de la somme des écarts à la moyenne générale

la discrétisation crée des classes peu homogènes

- Reprendre l'exemple : Analyse du PIB par habitant des régions de France, d'Italie et d'Espagne en 1991 - (Sources : Eurostat, 1992, in SAINT-JULIEN 1999, p.23).

- prendre l'onglet Tab2d ;

- recopier les couleurs matérialisant les classes du Tab2c vers le Tab2d ;

- calculer en E6 l'écart absolu à la moyenne de la valeur du 1er PIB de la 1ère classe à l'aide la formule suivante :

=ABS(D6-MOYENNE(D$6:D$??))

- remplacer les deux "??" par le n° de ligne qui contient la dernière cellule de cette première classe ;

- recopier vers le bas sur toute la 1ère classe.

- faire la même manip pour l'ensemble des classes ;

puis pour les trois autres discrétisations.

- calculer la somme des écarts à la moyenne, pour les 6 à 8 classes de chaque discrétisation (de E72 à H79) ;

puis faire la somme de ces écarts par discrétisation (de E86 à H86) ;

- calculer la somme des écarts à la moyenne générale (de I6 à I63) ;

puis faire la somme des écarts à la moyenne générale (en I84)

- enfin, calculer le TAI (de E86 à H86).

- Quelle est la méthode qui donne les classes les plus homogènes ?

2.2 Variances intra-classes / Variances inter-classes

Là encore, il s'agit de déterminer si les individus d'une classe se ressemblent plus qu'ils ne ressemblent à ceux d'une autre classe.

La variance totale (notée), ou encore information totale, se décompose en :

Variance totale = Variance inter-classes + variance intra-classes

formule n°6 (mem32car.htm)

avec :

variance inter-classes ;

variance intra-classes ;

où :

- moyenne de la classe h ;

- moyenne générale ;

- un individu de la classe h ;

- M effectif de la série ;

- M_h effectif de la classe h.

L'indice I se calcule comme suit :

I = (Variance intra-classes / Variance inter-classes)

L'indice I varie entre 0 et 1

- Quand :

- I ± 1 => plus la variance intra est forte par rapport à la variance inter

plus la discrétisation crée des classes hétérogènes

- I ± 0 => plus la variance intra est faible par rapport à la variance inter

plus la discrétisation crée des classes homogènes

Attention, la lecture est donc inversée par rapport au TAI

- Reprendre l'exemple : Analyse du PIB par habitant des régions de France, d'Italie et d'Espagne en 1991 - (Sources : Eurostat, 1992, in SAINT-JULIEN 1999, p.23).

- prendre l'onglet Tab2e ;

- recopier les couleurs matérialisant les classes du Tab2c vers le Tab2e ;

- calculer en E6 l'écart à la moyenne de la valeur du 1er PIB de la 1ère classe à l'aide la formule suivante :

=(NB(D$6:D$??)/(NB(D$6:D$63))^2)*(D6-MOYENNE(D$6:D$??))^2

- remplacer les deux "??" par le n° de ligne qui contient la dernière cellule de cette première classe ;

- recopier vers le bas sur toute la 1ère classe.

- faire la même manip pour l'ensemble des classes ;

puis pour les trois autres discrétisations.

- calculer la somme des écarts à la moyenne au carré (la variance intra), pour les 6 à 8 classes de chaque discrétisation (de E84 à H84) ;

- calculer en E72 l'écart à la moyenne de la valeur du 1er PIB de la 1ère classe à l'aide la formule suivante :

=(NB(D6:D??)/NB(D6:D$63))^2*((MOYENNE(D6:D??)-(Tab2c!F$77))^2)

- remplacer les deux "??" par le n° de ligne qui contient la dernière cellule de cette première classe.

- faire la même manip pour l'ensemble des classes ;

puis pour les trois autres discrétisations.

- enfin, calculer l'indice I (de E87 à H87).

- Quelle est la méthode qui donne les classes les plus homogènes ?

- Est-ce les même résultats que pour les TAI ?

3. Exemple n°1

- Comment représenter cartographiquement le pourcentage des voix obtenues lors des élections présidentielles de 2012 ?

3.1. Analyse de la base de données cartographiques

3.1.1. Téléchargement

- Téléchargement de la base de données cartographiques

Nécessite le téléchargement de 2 fichiers Géoconcept

Il semblerait que le téléchargement de la base de données cartographiques soit de mauvaise qualité avec Netscape (au moins la V4.5). Il est donc recommandé d'utiliser Internet Explorer comme navigateur pour télécharger ce travail.

fichier n°1 - Téléchargement du fichier "cfm32ca1.gcm"

Ce fichier est au format Géoconcept et "pèse" 27 Ko.

fichier n°2 - Téléchargement du fichier "cfm32ca1.gcr"

Ce fichier est au format Géoconcept et "pèse" 596 Ko.

- Téléchargement du Tableau 1 - Résultats des élections présidentielles de 2012 pour quelques bureaux de vote en Île-de-France - (Sources : Cartelec 2018).

Téléchargement du tableau "cfm322ta1.xls"

Ce fichier est au format EXCEL ".xls" et "pèse" 8,2 Mo.

3.1.2. Analyse de la structure de la base de données

- Quel est le champ commun entre la base Géoconcept et le fichier texte (l'ouvrir dans EXCEL) ?

C'est lui qui va servir de clef d'importation (jointure*)

- À quels Type et Sous-type est-il attaché ?

3.2.2. Mise en forme du tableau de données

- Le fichier "cfm32ta1.xls" n'est pas prêt à l'importation dans Géoconcept.

- Il faut faire un onglet avec les données qui vous intéressent ;

- Le convertir en un fichier texte ".txt"

qui comporte deux champs qui peuvent servir de jointure :

- Nom

- Code Commune

N'importe lequel de ces champs peut servir de champ clef.

- Les autres champs concernent les résultats des élections :

- RPR-UDF => Union de l'opposition ;

- Gauche plurielle => PCF, PS, les Verts, MDC et PRG ;

- FN => Extrême droite ;

- Extr. gauche => LO, LCR, ... ;

- Écologistes => GE, ... ;

- Divers droites => ... ;

- Divers => CNPT, Parti humaniste, ...

3.3. Importation sous Géoconcept

Ouvrir la carte "cfm32ca1.gcm", puis :

- Menu Fichier

- Sous menu Importer/Mettre à jour ...

- Choix du fichier texte

en Type : ASCII texte délimité

puis Ouvrir

- Créer une configuration temporaire

- Séparateur : Tab.

- Cocher : Noms des champs sur la première ligne

puis Suivant>

- Objets inexistants dans Géoconcept

- Ne pas cocher : Autoriser la création d'objets

- Objets inexistants dans le fichier d'import

- Laissez coché : Mettre dans une liste d'objet Géoconcept

puis Suivant>

- Type/Sous-type associé

- Laissez coché : Existant

- Menu déroulant : Commune (type valable pour tous les sous types)

Si l'on n'a pas créé précédemment les champs dans le configurateur

- maintenir sélectionnée chaque tête de colonnes qui contient aucun

- lui affecter le bon intitulé

- Laissez coché : Correspondance automatique entre champs du même nom

- Laissez coché : Création automatique des champs inexistants

puis Importer

Un message vous indique comment cela c'est passé.

Il doit y avoir 60 objets modifiés.

Vérifier dans la liste des objets, Menu Boite à outils, ces objets.

- Modifier dans le configurateur, Onglet Champs, le Genre des champs :

- RPR-UDF => Réels ;

- Gauche plurielle => Réels ;

- FN => Réels ;

- Extr. gauche => Réels ;

- Écologistes => Réels ;

- Divers droites => Réels ;

- Divers => Réels ;

3.4. Cartographie par plages de valeurs

Cartographie à l'échelle du 1/150 000

- Vérifier que les départements sont visibles à cette échelle (cf. Configurateur)

- Représentation par couche virtuelle

Menu Apparence

Sous menu Thématique ...

- Icône Plages de couleurs

- Aux objets : Commune

Donnez un nom à la couche virtuelle associée :

La 1^ère carte porte sur le vote d'extrême gauche en classes d'égale amplitude en 7 classes => EG_CEA7

Soyez le plus fidèle possible à la thématique.

puis OK

- Champ Extr. gauche :

- Cocher : Classe de même largeur

- Nombre de classes : 7

- Ne pas modifier les apparences

- Cliquer sur OK

- Les paliers sont-ils facilement mémorisables ?

- Pour modifier la valeur de chaque palier :

- Le sélectionner dans la fenêtre Thématique

- Le modifier dans la fenêtre Classe

dans la case de saisie Min ou Max

- Cliquer sur OK

- La carte est-elle efficace ?

- Comment réduire cette impression d'opposition Paris/Banlieue ?

- Faire un essai avec une autre méthode de discrétisation

La 2^e carte porte sur le vote d'extrême gauche en classes d'égale fréquence en 7 classes => EG_CEF7

- Quelles différences constatez-vous ?

- Laquelle sert quels buts ?

- Peut-on utiliser une autre méthode de discrétisation ?

- Si oui, laquelle ?

3.5. Cartographie par plages de valeurs des données transformées

- Reprendre les transformations décrites aux paragraphes 3.1.1. et 3.1.2.

- Les cartographier pour les comparer

en conservant une légende commune

La légende doit :

- être retransformée en pourcentages pour l'édition des caissons de légende uniquement ;

- aller

- du minimum

- au maximum de toutes les distributions

- Quelle méthode de partition paraît la plus efficace ?

4. Exemple n°2

Reprendre l'exemple traité en statistique (mem32sta.htm et mem41sta.htm)

- On recherchera pour ces 3 pays la discrétisation du PIB par habitant la plus pertinente en se demandant : :

- Quel est le meilleur nombre de classes (pour quel public) ?

- Quelle est la meilleure méthode ?

4.1. Analyse de la base de données cartographiques

4.1.1. Téléchargement

Nécessite le téléchargement de 4 fichiers dont 2 fichiers Géoconcept

Il semblerait que le téléchargement de la base de données cartographiques soit de mauvaise qualité avec Netscape (au moins la V4.5). Il est donc recommandé d'utiliser Internet Explorer comme navigateur pour télécharger ce travail.

- Téléchargement de la base de données cartographiques

fichier n°1 - Téléchargement du fichier "cfm32ca2.gcm"

Ce fichier est au format Géoconcept et "pèse" 27 Ko.

fichier n°2 - Téléchargement du fichier "cfm32ca2.gcr"

Ce fichier est au format Géoconcept et "pèse" 59 Ko.

- Téléchargement du fond de carte renseigné

fichier n°3 - Téléchargement du fond de carte

(Sources : Code et localisation des régions de France, d'Italie et d'Espagne, in : SAINT-JULIEN 1999, p.25).

Ce fichier est au format ".TIF" et "pèse" 290 Ko.

- Téléchargement du Tableau 2 - PIB par habitant des régions de France, d'Italie et d'Espagne en 1991 - (Sources : Eurostat, 1992, in SAINT-JULIEN 1999, p.23).

fichier n°4 - Téléchargement du tableau "cfm32ta2.xls"

Ce fichier est au format .xls et "pèse" 97 Ko.

4.1.2. Analyse de la structure de la base de données

- Quel est le champ commun entre la base Géoconcept et le fichier texte (l'ouvrir dans EXCEL) ?

C'est lui qui va servir de clef d'importation (jointure*)

- À quels Type et Sous-type est-il attaché ?

4.2. Cartographie du PIB

- Reprendre les méthodes de partition décrites à la section 2.6.

- Les cartographier pour les comparer

en conservant leur légende propre

- Quelle méthode de partition paraît la plus efficace ?

- Est-ce celle désignée par les indices du chapitre 4 ?

Conclusion :

- pour comparer des distributions, par exemple :

- le même lieu à des dates différentes (progression d'un parti politique sur les mêmes bureaux de vote, ...) ;

- des lieux différents avec une légende commune, ...

- Quelles méthodes de partitions choisir ?

C'est encore un problème de forme des distributions

- Lorsqu'il y a comparaison de distributions (dans l'espace, le temps)

le découpage doit :

- être commun aux distributions (il sera donc arbitraire) ;

- présenter le même nombre de classes

- le plus robuste* possible

fig. 13 - Les deux cartes sont-elles comparables ?

Sources : Le Monde du 10 décembre 2005 in l'efficacité des ZEP en question, Martine Larouche

- la méthode des seuils naturels est à exclure, car elle :

- respecte chaque distribution ;

- ne suit pas de principe commun ;

- ne fournit pas systématiquement le même nombre de classes, ...

- la méthode de l'égale amplitude n'est valable, que lorsque les distributions :

- sont homogènes ;

- ne comportent pas de valeurs trop exceptionnelles ;

ou lorsque l'on doit faire une comparaison par rapport :

- à des cartes déjà réalisées ;

- à l'aide d'un découpage conventionnel (extérieur aux données).

- la méthode selon la moyenne et l'écart-type n'est valable, que lorsque les distributions :

- sont symétriques (ou transformées pour les rendre symétriques) ;

- ne comportent pas de valeurs trop exceptionnelles.

- la méthode de l'égale fréquence est la plus robuste

car elle tient compte de l'ordre des observations et pas des valeurs.

Elle est conseillée lorsque les distributions :

- sont de formes différentes (dissymétriques) ;

- contiennent des valeurs exceptionnelles (voire douteuses !) ;

- lorsque l'on ne veut pas effectuer de transformations de la variable.

5. Test de compréhension

Communiquez-moi sur la plateforme Moodle, à la rubrique "Questions de cours", les réponses aux questions suivantes :

Question n°3.2.1. Dans le cas d'une distribution ayant une forte asymétrie gauche, il est préférable d'utiliser une discrétisation par :

a) seuils naturels

d) moyennes emboîtées

b) standardisation

e) égale amplitude

c) égale fréquence

f) égal effectif

Question n°3.2.2. Dans le cas d'une distribution ayant une forte asymétrie gauche, il est préférable d'effectuer une transformation par :

a) la fonction puissance un demi

d) la fonction puissance deux

b) la fonction puissance un tiers

e) la fonction puissance trois

c) le logarithme

f) le trois quart centre

Question n°3.2.3. On réservera la discrétisation par la méthode de la moyenne et de l'écart-type pour les distributions :

a) avec une asymétrie droite

d) pluri-modales

b) avec une asymétrie gauche

e) en cloche

c) bi-modales

f) uniformes

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NB : les mots suivis de "*" font partie du vocabulaire géographique, donc leur définition doit être connue. Faites-vous un glossaire.